Эта статья посвящена исследованию покера с точки зрения теории игр. Она открывает цикл статей, в котором в доступной форме будет излагаться взгляд на математическую сторону покера. В ней использованы материалы исследований замечательного ученого, профессора механико-математического факультета МГУ Игоря Дмитриевича Протасова.
Покер – это игра, в которую играют два и более человек. Основной целью игры в любой разновидности покера является набор такой комбинации из пяти карт, которая окажется сильнейшей за столом. В этой статье не будет рассматриваться психология игроков – это тема для отдельного разговора. Мы попробуем дать основные понятия математики покера с точки зрения теории игр. В частности, мы рассмотрим принципы ведения коалиционной игры, которая особенно актуальна при участии в турнирах. В любом турнире, начиная фрироллом и кончая частными столами, игра рано или поздно приходит к тому, что остается на одного или двух игроков больше, чем необходимо для получения призовых. Именно эту ситуацию мы и попробуем разобрать во второй части статьи. А для начала посмотрим, что же собой представляет покер с точки зрения математики.
Покер как термин математики
Главной задачей игрока в покер является проблема принятия решения —именно к этому в конечном счете сводится вся игра.
С первой раздачи и до вскрытия карт каждый из сидящих за столом последовательно и целенаправленно выполняет действия, которые должны обеспечить принятие оптимального в данных условиях решения. Исследованием моделей этих процессов занимается прикладная наука – исследование операций. Однако игра, в которой принимают участие два и более человек, подразумевает конфликт, а операция предполагает действия в отсутствие конфликта. Строго говоря, игра существует лишь в условиях развивающегося конфликта между сторонами: каждый игрок стремится предугадать действия своих противников. Одновременно с этим он старается по возможности неожиданно провести контратаку
и получить преимущество перед противником. Операции в условиях конфликта изучает теория игр.
Общие положения теории игр применимы к любому конфликту, однако основные идеи и термины теории заимствованы из классических, или, как их еще называют, салонных игр, к которым в частности относятся шахматы, карты и т.п.
Классическая игра начинается из начальной, заранее определенной правилами этой игры позиции. Каждый шаг игры являет собой часть последовательности ходов (действий), которые игрок выбирает из множества вариантов. В покере для внесения в игру элемента случайности, используется тасование колоды, а также розыгрыш права первого хода, когда речь идет о турнирах. В отличие от шахматиста, игрок в покер не обладает полной информацией. Он не знает, какой ход сделает соперник, и зачастую не способен точно определить, в какой позиции находится игра. Подобная игра с неполной информацией полагает, что игрок часто играет со случаем. Так, имея на руках пару королей и видя на столе пару двоек и туза, игрок может предполагать наличие у соперника тройки тузов или каре двоек. Обе комбинации являются более сильными, чем та, что у него на руках. Даже если на следующий ход придет король, это может ничего не изменить.
Таким образом, в зависимости от степени агрессивности игры можно принять решение либо «прощупать» соперника ощутимым для него рэйзом, либо заставить сбросить, не позволяя развивать игру до конца. В этой позиции игроку противостоит случай – определить позицию, в которой находится игра, крайне сложно.
Опыт и квалификация игрока определяют стратегию, которой он интуитивно придерживается в процессе игры: чем больше опыт, тем более широкие возможности для игры получает игрок.
Теория игр, исследуя математические модели конфликтов и их формальные решения, нивелирует квалификацию игрока. Это позволяет предугадать процесс и возможные результаты будущей игры до ее начала, а также по результатам моделирования сделать вывод о целесообразности собственного участия в этой игре.
Прежде чем перейти к рассмотрению собственно теории игр, уточним, как они классифицируются. Это поможет понять, что именно мы будем рассматривать в дальнейшем.
В теории игр существует классификация игр по:
- числу «игроков» (сторон) – их может быть от двух и более;
- числу ходов в игре – от многошаговых до бесконечных;
- взаимоотношениям игроков – коалиционные, кооперативные, бескоалиционные.
В покере каждый ход игрока и его соперника в совокупности являются шагом игры. Каждый игрок (K) принадлежит некоему множеству, которое сформировано за конкретным столом (N). И каждый ход этого игрока (I) совпадает с шагом игры (j). Выбор игрока (Xi) в данном случае принадлежит к множеству возможных для него в данном случае вариантов (Xk), а так как правом выбора обладает каждый игрок из множества (N), сформированного за этим столом, то и множество вариантов (XN). После того как игрок сделает выбор, игра по отношению к нему переходит в следующую позицию.
Пример на турнире по покеру
Одностоловый турнир по безлимитному холдему (это может быть любая другая партия в покер). На флопе маньяк, сидящий напротив вас, идет ва-банк. Все сбрасывают. Это десятая рука, и сидящие за столом игроки уже поняли, никто из них не будет рисковать, выступая против маньяка, – все играют в узком коридоре высоких пар, в то время как он пользуется
любыми высокими картами, а берет, вероятно, и 9,8 разной масти. Если бы карты не были сброшены и кто-то ответил, то в этом случае игра перешла бы на следующую позицию. В первом случае позицией являлась бы новая рука, во втором – терн (сдача четвертой карты).
Выбор ходов каждого игрока в данном случае определялся из возможно доступных им альтернатив: либо принять, либо сбросить. Как видно из вышеизложенного, пока мы лишь наблюдаем за тем, каким образом теория игр интерпретирует действия игроков в момент игры (конфликта).
Если по правилам игры k-й игрок пропускает свой ход (в данном случае находится вне игры), то во избежание путаницы следует положить его ход (i-й) пустым.
Далее мы можем сказать, что выбор действий, которые совершают игроки, будет находиться в границах их числа, то есть выбывшего игрока мы в расчет не берем.
В данном случае игра за столом сформировала коалицию, то есть группу из более двух человек, действия которых определяются некими общими на данный момент интересами. А именно – не позволить маньяку втянуть себя в заведомо проигрышную игру.
Аналогично можно привести пример, когда два одинаковых по силе соперника (имеется в виду, что у них либо схожее число фишек, либо средние карты при нежелании блефовать) создают коалицию при игре с третьим соперником. Обычно такая ситуация складывается, когда у третьего игрока вся сумма уходит на блайнд. Это характерно для середины и второй половины одностоловых турниров. В середине турнира два игрока коалиции, как правило, будут играть на чеках, стремясь минимизировать возможную прибыль третьего игрока. Одновременно с этим они минимизируют и свою возможную прибыль, но так как в процессе этой конкретной игры они не могут наблюдать его реакцию, им остается лишь этот
путь как наиболее благоприятный.
Если же говорить о коалициях, возникающих во второй половине турниров, то здесь хорошим примером может служить ситуация, когда за столом остались N+K игроков, где N – множество игроков, гарантированно получающих часть призового фонда, а K – количество игроков, которые не могут на это надеяться. Например, призовой фонд выплачивается с 3 места, а за столом находятся 5 игроков.
Здесь K = 2.
В этой ситуации N есть коалиция. Игрок вне коалиции, как правило, имеющий минимальное количество фишек, располагает возможностью выбирать из K вариантов. Рассмотрим ситуацию более подробно.
За столом пять человек, из которых три гарантированно получают приз. Если игрок постоянно сбрасывает, он теряет фишки на блайндах. Следовательно, наименьшие шансы попасть в число призеров имеют при прочих равных условиях игроки с минимальным количеством фишек. Именно они и составляют множество K. В нашем случае K = 2.
В процессе игры против коалиции N игроки из множества K не могут воспользоваться альтернативами XN, потому что они не входят в него. Единственный доступный им вариант – XK.
Значит, при возникновении коалиции игроки из второго множества будут играть и против коалиции, и против друг друга, в то время как представители коалиции будут играть лишь против них.
На практике такое случается постоянно. Сильные игроки, имеющие шансы дойти до призовых, просто сбрасывают деньги друг другу, наблюдая за тем, как тают фишки у неудачников. Правда, не следует забывать, что множество доступных вариантов игры включает в себя не только игру друг против друга, но и, как было сказано выше, игру против коалиции.
Это значит, что игроки множества K могут ждать, пока блайнды не выкинут одного из них. Но в этом случае шансы на выигрыш у оставшегося будут ниже – выбор его ходов не будет лежать в границах:
- он против соперника из множества K;
- он против множества N;
- K против множества N.
Когда он останется в одиночестве, окажется, что K = 1. Следовательно, выбор его ходов будет находиться в следующих границах — он против множества N.
Для того чтобы повысить свои шансы, каждому игроку из множества K необходимо строить стратегию таким образом, чтобы его игра велась от лица множества. То есть крайне агрессивно. Это даст возможность изменить состав множеств.
Пример на турнире по покеру
Одностоловый турнир по безлимитному холдему. За столом пять игроков.
N = 3, K = 2.
Если игроки K будут пассивно ждать высокие пары, их фишки (1500 и 1700 соответственно) будут съедены блайндами. Коалиция (5000, 7000, 5000 фишек) просто перекидывают фишки – никто не хочет уйти до призовых.
Если игроки K будут играть друг против друга, то при самом благоприятном исходе один из них получит на выходе примерно 2500 фишек. Здесь имеется в виду, что агрессивная игра одного из игроков множества принесет ему выигрыш и со стороны коалиции.
Постоянная агрессия рано или поздно заставит одного из участников коалиции сбросить. Но 2500 будут всего лишь означать, что, как было сказано выше, множество K = 1.
Теперь вероятность выигрыша у K (а выигрыш подразумевает получение призовых) минимальна – с такими деньгами сложно бороться против коалиции.
Она по-прежнему играет против него. Но если бы игроки множества K изменили свою стратегию? Если бы они исключили вариант «я против коалиции»? Что было бы тогда?
Оставшиеся варианты указывают, что в этом случае создается вторая коалиция. Несмотря на то, что суммарное количество фишек не позволяет участникам коалиции K надеяться на выигрыш у коалиции N, в изменившихся условиях они могут внести вариант «коалиция K против игрока из множества N».
Если игра K-игроков будет достаточно агрессивной, можно предполагать, что один из игроков N сорвется. В этом случае он поставит под удар целостность коалиции и прежде всего свое пребывание в ней.
Дальше все будет зависеть от того, насколько верными будут действия игроков K. В качестве экстремальной стратегии можно предположить, что они будут постоянно ходить ва-банк, вынуждая слабого игрока N отдавать им блайнды – так будет продолжаться до тех пор, пока состав коалиции не поменяется.
Но не следует забывать, что при смене состава, игрок, вышедший из сильной коалиции, будет действовать по тактике своих победителей, а это приведет к довольно быстрой развязке. Как бы там ни было, один из игроков K неминуемо окажется за бортом. Как и один из игроков N.
Приведенный пример более реален, чем тот, в котором игроки K терпеливо дожидаются финала. Учитывая, насколько агрессивно сейчас проходят турниры по безлимитному покеру, можно с уверенностью сказать: стоит одному из K проявить активность, подключится и второй, уловив зарождающуюся выгоду уже на втором-третьем ходу.
Как бы там ни было, а наименьшую опасность вторая половина турнира представляет для того игрока, который располагает 7000 очков. Завершая этот вступительный обзор по теории игр, хочу пожелать вам, чтобы ваша тактика и стратегия как можно скорее принесли первое – наблюдающее место и, конечно же, призовые.
комментариев